高能天体物理学习笔记（一）常见物理量定义与辐射转移

前言：大一跟着导师做伽玛暴方向的本研项目的时候，经常被Flux,Fluence一类的物理量弄得一头雾水。现在有想要进一步研究高能方向的打算，因此对一些必要的知识进行整理。也姑且算作学习高能天体物理的笔记吧。

〇、常见物理量的定义

1.微元的选取：考虑辐射场中一点，选取任意一个方向为法向，与之垂直取一个小面元，记为$\mathrm{d}A$,与法向成$\theta$角方向的小立体角元记为$\mathrm{d} \Omega,$，辐射场中的体积元$\mathrm{d} V$可以表示成$\mathrm{d} Ac\mathrm{d}t,$如下图所示。

分析示意图

2.流量（flux）：也叫通量，定义为单位时间内穿过单位面积的物理量。在高能天体物理里，这个物理量通常是能量，即能量流量（energy flux）。记作$F= \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}t}$,其量纲为$ \left[W/m^2\right]$或$ \left[erg/\left(cm^2 \cdot s \right) \right]$.

3.单色能量流量（monochromatic energy flux）：定义为单位面积单位时间在单位频率间隔穿过的能量，即$F_{\nu}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}{\nu}}$ .其量纲为$ \left[W/ \left(m^2 \cdot Hz \right)\right]$或$\left[ erg/\left(cm^2\cdot s \cdot Hz\right) \right] $.

显然，单色能量流量对频率积分的结果就是能量流量，即$F=\int_{0}^{\infty}F_{\nu} \mathrm{d} \nu$ .

能量流量有一个特殊的性质，即其与点源的距离关系满足平方反比定律。对于真空中各向同性的辐射点源，分别在距其距离为$r_1,r_2$处做球面，单位时间内穿过球面的能量显然是守恒的。则有$F\left(r_1 \right) 4\pi r_1^2=F\left(r_2 \right) 4\pi r_2^2=L ,$

L即为光度。这里$F\left(r \right) \propto \frac{1}{r^2}.$

对于非各向同性的辐射源呢？

思考一下

4.能流（energy fluence）：单位面积穿过的能量，一般记作$\mathcal{F}$,其量纲为$\left[J/m^2\right]$或$\left[erg/cm^2\right]$.同样很明显，能流与能量流量有关系：$\mathcal{F}=\int_{t_1}^{t_2} F \mathrm{d}t$,这是因为$\mathcal{F}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A}$.

5.单色强度（Specific Intensity (or Brightness)）：单位面积单位时间法线方向单位立体角穿过的能量。也叫辐射比强度，记作$I_{\nu}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}t\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}\nu}=I_{\nu}\left( \theta,\varphi \right)$,量纲为$\left[J/\left(m^2 \cdot Ster \cdot Hz \right)\right]$或$\left[erg/\left(cm^2 \cdot Ster \cdot Hz \right)\right]$.当将单色强度一般化表示，看作是单位面积单位时间沿任意方向单位立体角穿过的能量时，$I_{\nu}\left( \theta , \varphi \right)=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}t\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}\nu\cos{\theta}}$.

辐射强度的重要性质：在自由空间，沿视线方向，辐射强度不变。推导：

$\mathrm{d}E_1=I_{\nu 1}\mathrm{d}A_1\mathrm{d}t\mathrm{d}\Omega_1\mathrm{d}\nu=I_{\nu 1}\mathrm{d}A_1\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}A_2}{r^2}\mathrm{d}\nu;$ $\mathrm{d}E_2=I_{\nu 2}\mathrm{d}A_2\mathrm{d}t\mathrm{d}\Omega_2\mathrm{d}\nu=I_{\nu 2}\mathrm{d}A_2\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}A_1}{r^2}\mathrm{d}\nu,$

由能量守恒可知： $\mathrm{d}E_1=\mathrm{d}E_2, $联立上式，得：$ I_{\nu 1}=I_{\nu 2}.$

法线方向的净流量（Net flux in direction $\hat{n}$）：$F_{\nu}\left(\hat{n}\right)=\int I_{\nu}\left(\theta , \varphi \right)cos{\theta}\mathrm{d}\Omega=I_{\nu}\left( \theta,\varphi \right)$

平均辐射强度（Mean Intensity）：$J_{\nu}=\frac{1}{4 \pi}\int I_{\nu}\left(\Omega\right)\mathrm{d}\Omega$

6.能量密度（Energy Density）：单位体积单位频率间隔的能量。$u_{\nu}\left(\Omega\right)=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}V\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}\nu}=\frac{I_{\nu}\left(\Omega\right)}{c}$，其量纲为$\left[J/\left(m^2 \cdot Hz \right)\right]$或$\left[erg/\left(cm^2 \cdot Hz \right)\right]$.

能量密度与平均辐射强度有关系：$u_{\nu}\left(\Omega\right) =\frac{1}{c}\int J_{\nu}\left(\Omega\right)\mathrm{d}\Omega = \frac{4 \pi}{c} J_{\nu}$.

一、辐射转移

辐射转移是辐射在物质中传播时介质和辐射的能量交换过程。物质对辐射主要有三种影响，即：辐射、吸收、散射。从整体上看，散射不改变辐射的能量。

1.自发辐射

自发辐射是单位时间内单位体积的物质在单位立体角、单位频率上产生的辐射，表示为$\mathrm{d}E=\varepsilon_{\nu}\mathrm{d}V\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu=\varepsilon_{\nu}\mathrm{d}A\mathrm{d}x\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu.$其中$\varepsilon_{\nu}$被称为辐射系数，其量纲为$\left[\frac{W}{m^3 \cdot s \cdot Ster \cdot Hz }\right]$,$\left[\frac{erg}{cm^3 \cdot s \cdot Ster \cdot Hz }\right].$可以得到辐射强度和辐射系数的关系如下：
\[
\mathrm{d}I_{\nu}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu}=\varepsilon_{\nu}\mathrm{d}x\]

要得到物质总的辐射的量，就需要将该式沿辐射在物体中的运行轨迹进行积分。

2.吸收

辐射与物质中的粒子相互作用，并因此消失的过程称为物体对辐射的吸收；这些与辐射作用的粒子称为作用粒子。设物质中吸收粒子的吸收截面为$\sigma_{\nu}$,粒子数密度为$n$,那么总吸收面积为$\mathrm{d}A_{tot}=\sigma_{\nu}n\mathrm{d}A\mathrm{d}x$.这样我们就可以得到物体吸收的辐射:$\mathrm{d}E=-I_{\nu}\mathrm{d}A_{tot}\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu=-I_{\nu}\mathrm{d}A_{tot}\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu=-I_{\nu}n\sigma_{\nu}\mathrm{d}A\mathrm{d}x\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu.$

辐射强度的变化与能量变化的关系为：\[\mathrm{d}I_{\nu}=-\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}\Omega\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu}=-I_{\nu}n\sigma_{\nu}\mathrm{d}x\]即$dI_{\nu}=-I_{\nu}n\sigma_{\nu}\mathrm{d}x$其中$\alpha_{\nu}$为吸收系数$\alpha_{\nu}=n\sigma_{\nu}$,量纲为$\left[m^{-1}\right].$
3.辐射转移方程

根据上面我们对物体的辐射和吸收的推导，可以得到如下方程组:
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathrm{d}I_{\nu}& = \varepsilon_{\nu}\mathrm{d}x \\
\mathrm{d}I_{\nu}& =-\alpha_{\nu}I_{\nu}\mathrm{d}x\\
\end{aligned}
\right.
$$
联立得到辐射转移方程：\[\frac{\mathrm{d}I_{\nu}}{\mathrm{d}x}=-\alpha_{\nu}I_{\nu}+\varepsilon_{\nu}\]其中$\alpha_{\nu}$为吸收系数,$\varepsilon_{\nu}$为辐射系数。考虑三种情况：
①纯辐射：此时$\alpha_{\nu}=0,\frac{\mathrm{d}I_{\nu}}{\mathrm{d}x}=\varepsilon_{\nu}.$积分可得：
\[I_{\nu}\left(x\right)=I_{\nu}\left(0\right)+\int_{0}^{x}\varepsilon_{\nu}\left(x^{\prime}\right)\mathrm{d}x^{\prime}\]
即：辐射强度的增加等于辐射沿视线方向的积分。
②纯吸收：此时$\varepsilon_{\nu}=0,\frac{\mathrm{d}I_{\nu}}{\mathrm{d}x}=-\alpha_{\nu}I_{\nu}.$积分可得：
\[I_{\nu}\left(x\right)=I_{\nu}\left(0\right)\exp{\left[-\int^x_0 \alpha_{\nu}\left(x^{\prime}\right)\mathrm{d}x’\right]}=I_{\nu}\left(0\right)e^{-\tau_{\nu}}\]
此时，辐射强度沿视线方向指数衰减。
③辐射和吸收共存：用$\mathrm{d}tau_{\nu}$表示$\mathrm{d}x$,得到：$\frac{\mathrm{d}I_{\nu}}{\mathrm{d} \tau_{\nu}}=-I_{\nu}+\frac{\varepsilon_{\nu}}{\alpha_{\nu}}$,定义源函数$S_{\nu}=\frac{\varepsilon_{\nu}}{\alpha_{\nu}}$,则有$\frac{\mathrm{d}I_{\nu}}{\mathrm{d }\tau_{\nu}}=-I_{\nu}+S_{\nu}$积分可得：

\[I_{\nu}(\tau_{\nu})=I_{\nu} (0) e^{-\tau_{\nu}}+\int^{\tau_{\nu}}_0 e^{-( \tau_{\nu}-\tau_{\nu}’)} S(\tau_{\nu}’) \mathrm{d} \tau_{\nu}^{\prime}\]

4.光深和平均自由程

在前面讨论纯吸收的辐射转移方程时，我们定义了$I_{\nu}\left(0\right)\exp{\left[-\int^x_0 \alpha_{\nu}\left(x^{\prime}\right)\mathrm{d}x’\right]}=I_{\nu}\left(0\right)e^{-\tau_{\nu}}.$其中我们定义$\mathrm{d} \tau_{\nu}=\alpha_{\nu}\mathrm{d}x, \tau_{\nu}=\int^x_0 \alpha{\nu}\left(x’\right)\mathrm{d}x’$,称$\tau_{\nu}$为光深(Optical Depth)。光深是一个无量纲量，它反映了介质对辐射的透明程度。若$\tau_{\nu}\gg 1$,称介质是光学薄的，对辐射不透明；若$\tau_{\nu}\ll1$,称介质是光学薄的，对辐射透明。
对于均匀介质，我们有$\tau_{\nu}=\int^x_0 \alpha{\nu}\left(x’\right)\mathrm{d}x’=n\sigma_{nu}x$ .平均自由程即光子在介质中可以穿行的平均距离，定义为 $l_{\nu}=\frac{1}{n \sigma_{\nu}}$.

参考文献

1.Malcolm S. Longair, High Energy Astrophysics, 3rd Edition, Cambridge University Press 2011

2.《天体物理中的辐射机制》（第二版）尤峻汉，科学出版社，1998

3.George B. Rybicki & Alan P. Lightman, Radiative Processes in Astrophysics, WILEY-VCH, 2004